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携程内推小仙女
发布于 2021-03-05 15:47
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随便聊聊小波变换与傅立叶变换

1、傅立叶变换的性质

共轭对称性;加法定理; 位移定理;相似性定理;卷积定理;能量保持定理

傅立叶变换的作用:

A、可以得出信号在各个频率点上的强度。

B、可以将卷积运算化为乘积运算。

C、傅氏变换和线性系统理论是进行图像恢复和重构的重要手段。

D、傅立叶变换能使我们从空间域与频率域两个不同的角度来看待图像的问题,有时在空间域无法解决的问题在频域却是显而易见的。

傅里叶变换的条件

A、具有有限个间断点;B、具有有限个极值点;C、 绝对可积;

2、小波变换

信号分析是为了获得时间和频率之间的相互关系。傅立叶变换提供了有关频率域的信息,但有关时间的局部化信息却基本丢失。

小波变换与傅立叶变换的共同点:傅立叶变换与小波变换都是将一个信号分解为一个个的小信号,傅里叶变换是将一个信号分解为一系列的的正弦波和余弦波;小波变换是把一个信号分解为将母小波经过缩放和平移之后的一系列小波。小波变换可以理解为用经过缩放和平移的一系列小波函数代替傅立叶变换的正弦波和余弦波进行傅立叶变换的结果。

傅里叶变换是频域和时域的之间的一种整体变换,傅里叶变换得到的收信号在整个时间范围内的频率特性,无法获得某一频率出现的时刻信息,即不具备时间和频率的定位功能(傅里叶变换是使整个信号整体进行变换,显示频率特征)。小波变换是调整局部的变换,通过缩放母小波的宽度来获得信号的频率特征,通过平移母小波来获得信号的时间信息。(对母小波的缩放和平移操作是为了计算小波系数,这些小波系数反映了小波和局部信号之间的相关程度。)小波变换时间信息和频率信息可以同时显现。

(小波变换与傅里叶变换相比,是一个时间和频率的局部变换,具有良好的空间域和频率域局部化特性,因而能有效的从信号中提取信息,通过伸缩和平移等运算功能,对函数或信号进行多尺度细化分析,对高频采用逐渐精细的时域或空域步长,可以聚焦到分析对象的任意细节,解决了Fourier变换不能解决的许多难题。傅里叶变换只能显示时域或频域的信息,小波变换则可以兼顾。)

正弦波从负无穷一直延续到正无穷,正弦波是平滑而且是可预测的, 而小波是一类在有限区间内快速衰减到0的函数,其平均值为0, 小波趋于不规则、不对称。


从小波和正弦波的形状可以看出,变化剧烈的信号,用不规则的小波进行分析比用平滑的正弦波更好,即用小波更能描述信号的局部特征。



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