A、 15 and 20

• 猜拳游戏的模拟
• 把四个数加起来，判断一下即可

B、 显示器

• 求给定比例的最大分辨率
• 直接求横纵的最小倍数，取最小的；
• 也可以枚举倍数

C、 Sequence

• ，已知 , 求 。
• 手工枚举一下，可以发现循环节长为 。
• 

D、 Carrot

• 个奇数， 分成两个集合，使得集合累加和的差值最小
• 结论： , 差值为 ； 其他， 差值为 。
• 证明：
  • 连续四个奇数为 分成两组 , 差值为 。所以，当 ， 结果为 。
  • 当 时， 我们把 以外的所有数按连续 个进行分组，差值为 ，然后把 随便给某个集合，差值为 。由于 是奇数，所有奇数个奇数的和为奇数，所以分成两组，差值最小为 。所以，之前的构造为一个最小差值分组。
  • 当 时，结果显然为 。其他 时，最小的 个数分为 和 , 差值为 。显然最后结果为 。
  • 当 时，采用类似于第 步的构造和利用奇偶性，得到最小值为 。

E、 Cuboid

• 长方体沿表面走对角的最短路径长度
• 结论 当
• 平面上，两点间直线最短
• 将长方体展开，很容易得到以上结论。
  
  

F、 Order

• 个订单，求完成时间的最小累加和
• 最优安排是按订单数从小到大安排生成
• 反证
  • 假设一个最优安排中，存在 , 但是 。我们交换 和 的位置，得到一个新的安排。
  • 显然对于 或者 的订单，这种交换没有影响。
  • 对于 的订单，显然，其完成时间是小于或等于原有安排的。
  • 矛盾

G、 Ball

• 一个球，从左上角弹出，弹几库到右下角？
• 结论： 和 都为奇数时能弹到右下角，需要弹 库
  
  

H、 奇怪的回文子串

• 构造一个长度为 的字符串，要求其中最长回文子串的长度处于 之间，且出现各种字符的次数不超过给定的限制。
• 做法很多
  • 先构造一个类似于 的回文串，长度为 。然后取其他字符填充成 的形式，然后再用这个子串按顺序填充成 长的字符串 （雷智凯）
  • 先利用无限制字符，构造一个类似于 的串，然后随机产生后面的字符，要求随机出来的字符不超过限制，且不等于前 和前 个字符。 （谢勇）

I、 Line

• 过矩形外一点画一条直线，分割矩形使得两边面积相等。
• 结论： 取矩形的中点 和 给定点 画一条直线 即为所求。
• 显然，由于对称性，所有过中点的直线必然平分矩形。
• 注意：中点坐标需要除 ，可能为小数，为此先把坐标都乘 来处理。

J、 勾股定理

• 给一个整数 ，求另外两个整数 和 ，使其构成直角三角形
• 构造的方法也很多
  • 
  • 不妨设 ,所以 必须为奇数,解得
  • 不妨设 ,所以 必须为偶数,解得

K、 BAD String

• 交换一个串的两个字符以后，使得串不含 这个子串
• 构造方法也很多
  • 统计 的数量 ，显然每次交换最多破坏两个 子串，所以当 时无解
  • 如果 , 交换成
  • 如果 , 交换成
  • 否则，随机交换两个字符，验证一下。