本文含NTT、MTT、拆系数FFT、共轭优化FFT、多项式求逆与ln

$\color{red}{\text{约定：}}$

$1.F(x)$ 表示一个普通的项数为 $2$ 的幂次多项式, $F_D(x)$ 是他的点值表示。

$2.w$ 代表单位根， $w_m$ 表示 $m$ 次单位根。

$3.A$ 代表一个数列。

$4.g$ 表示原根。

$\color{red}{\text{多项式系列之零底层知识：}}$

多项式的表示：

多项式可以通过系数数列 $A$ 表示， $a_i$ 是 $x_i$ 的系数。

多项式可以通过点值表示，对于一个 $n$ 次多项式，取 $n$ 种不同的 $x$ 取值带入 $F(x)$ ，得到 $n$ 个值，在取相同这 $n$ 个数的意义下，可以唯一的表示这个多项式。

多项式乘法：

定义 $F(x)\oplus G(x)=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^i f_ix^i\times g_{j-i}x^{j-i}$ ，在系数表示之下相乘复杂度 $\Theta(n^2)$ ，在点值表示之下 $F(x)\oplus G(x)=A_f\times A_g=\sum_{i=1}^n a_{fi}\times a_{gi}$ ，复杂度 $\Theta(n)$ 。

复数：

复数一般情况下可以表示成 $a+bi$ 的形式， $a,b$ 是实数， $i=\sqrt{-1}$ 。

复数的幅角：平面直角坐标系上点 $(a,b)$ 所在的任意角。

复数的模长： $\sqrt{a^2+b^2}$

两个复数相乘： $(a+bi)\times(c+di)=ac+adi+bci-bd=(ac-bd)+(ad+bc)i$ ，复数相乘之后，模长等于原来两个复数的模长的乘积，幅角的角度等于原来两个幅角的和。

复数可以加减乘除，可以和实数一样的带入 $F(x)$ 。

$w$ ：

在单位圆上从 $w_m^0=(1,0)$ 开始平均取 $m$ 个点，从 $0$ 开始编号，分别是 $w_m^0,w_m^1,w_m^2,w_m^3\cdots w_m^{m-1}$ 。

画图观察可得：

$1.w_m^k=(cos(\frac k m 2\pi),sin(\frac k m 2\pi))$ 所代表的复数

$2.w_m^{-k}=(cos(\frac {-k} n 2\pi),sin(\frac {-k} n 2\pi))$ 所代表的复数

$3.w_m^m=w_m^0=(1,0)$

$4.w_m^m=-w_m^{\frac m 2}$

$5.w_{2m}^{2k}=w_m^k$

$6.w_m^{k+\frac m 2}=-w_m^k$

DFT&IDFT：

在科学的数学函数意义上DFT是讲一个函数转化成三角函数的加减乘除的形式，三角函数的系数是原函数系数与点值之间的变换规律。IDFT是DFT的逆变换。

g：

$1.$ 什么是 $g$ ：在 $mod~p$ 意义下 $g^i(i\in[0,p-1])$ 互不相同，即 $g$ 可以张成整个 $mod~p$ 下的域。

$2.g$ 存在的条件： $p=2,4,q^a,2q^a$ ， $q$ 是奇素数。

$3.$ 如何求 $g$ ：把 $\phi(p)$ 进行质因数分解 $\phi(p)=\prod p_i^{a_i}$ ，如果对于任意的 $p_i$ ，总有 $g^{\frac {\phi(p)} {p_i}}\neq 1(mod~p)$ ，暴力枚举即可。

CRT合并：

求解 ${\begin{cases}x\equiv a_1 (mod~p_1)\\x\equiv a_2 (mod~p_2)\end{cases}},\gcd(p_1,p_2)=1$

由 $x\equiv a_1 (mod~p_1)$ ，得

$x-p_1y=a_1$

$x=a_1+p_1y$

带入二式，得

$a_1+p_1y\equiv a_2(mod~p_2)$

$p_1y\equiv a_2-a_1(mod~p_2)$

若 $\gcd(p1,p2)==1$ ，用逆元直接除便可；否则通过 $exgcd$ 可求得 $y$ ，若无解则方程组无解。

最后 $x=p_1y+a_1(mod~p_1p_2)$ 。

$\color{red}{\text{多项式全集之一 FFT:}}$

什么是FFT：

FFT是利用DFT的特殊性质，把 $w$ 带入 $x$ 从而 $\Theta(nlogn)$ 求一个系数多项式的点值表示，所以叫FDFT。

$w$ 的具体应用：

$1.$ 可以方便的IDFT：

设 $F(x)$ 的系数是 $A$ ，在 $w_m$ 的DFT下点值是 $B$ ， $G(x)$ 的系数是 $B$ ，在 $w_m^{-1}$ 的DFT下点值是 $C$ 。

$c_k=\sum_{i=0}^{m-1}b_iw_m^{-ki}$

$c_k=\sum_{i=0}^{m-1}(\sum_{j=0}^{m-1}a_jw_m^{ji})w_m^{-ki}$

$c_k=\sum_{j=0}^{m-1}a_j\sum_{i=0}^{m-1}w_m^{(j-k)i}$

当 $j-k=0$ 时 $\sum_{i=0}^{m-1}w_m^{(j-k)i}=m$ ，否则根据等比数列求和公式得

$\frac{w_m^{(j-k)m}-1}{w_m^{j-k}-1}=\frac{w_m^{m(j-k)}-1}{w_m^{j-k}-1}=\frac{1-1}{w_m^{j-k}-1}=0$
由此可得： $c_k=m\times a_k$ ， $a_k=\frac{c_k}{m}$

综上所述，对于点值取的 $w$ 相反数做DFT再除以 $m$ 可得到系数。

$2.$ 可以快速的DFT：

直接将 $w$ 带入多项式做DFT需要复杂度 $\Theta(n^2)$ ，我们利用 $w$ 的性质优化：

把 $F(x)$ 按照奇偶分裂， $F(x)=(a_0x^0+a_2x^2+a_4x^4+a_6x^6\cdots)+(a_1x^1+a_3x^3+a_5x^5+a_7x^7\cdots)$

我们令 $F_0(x)=a_0x^0+a_2x^1+a_4x^2+a_6x^3\cdots+a_{m-2}x^{\frac m 2}$

$F_1(x)=a_1x^0+a_3x^1+a_5x^2+a_6x^3\cdots+a_{m-1}x^{\frac m 2-1}$

我们可以发现 $F(x)=F_0(x^2)+xF_1(x^2)$

现在我们把 $w_m$ 带入，令 $k<\frac m 2$ ：

$F(w_m^k)=F_0(w_m^{2k})+w_m^kF_1(w_m^{2k})$

$F(w_m^k)=F_0(w_{\frac{m}{2}}^k)+w_m^kF_1(w_{\frac m 2}^{k})$

$F(w_m^{k+\frac m 2})=F_0(w_m^{2k+m})+w_m^{k+\frac m 2}F_1(w_m^{2k+m})$

$F(w_m^{k+\frac m 2})=F_0(w_{\frac m 2}^{k} )-w_m^{k}F_1(w_{\frac m 2}^{k})$

我们知道取 $w_{\frac m 2}$ 时， $A_0,A_1$ 的取值，就可以算出 $A(w_m)$ ，而 $A_0,A_1$ 的长度都为 $A$ 的一半，所以可以递归计算。

非递归优化FFT：

$1.$ 优化原理：

画图可知，递归版FFT最底层结束状态第 $i$ 个位置的项是 $i$ 二进制翻转后的结果。我们可以 $\Theta(n)$ 的得到最底层的结果，然后向上模拟回溯合并即可。

$2.$ 蝴蝶变换：

由上述式子： $F(w_m^k)=F_0(w_{\frac m 2}^{k})+w_m^kF_1(w_{\frac m 2}^{k})$

$F(w_m^{k+\frac m 2})=F_0(w_{\frac m 2}^{k} )-w_m^{k}F_1(w_{\frac m 2}^{k})$

可得在迭代时 $w_m^k$ 与 $w_m^{k+\frac m 2}$ 都只与 $w_{\frac m 2}^k,w_{\frac m 2}^{k+\frac m 2}$ 有关，所以我们可以用临时变量记录下一层的两个信息向上迭代。

共轭复数优化FFT：

$1.$ 优化原理：

（在DFT时）

令 $D(x)=A(x)+iB(x)$

$E(x)=A(x)-iB(x)$
那么

$E_D(x)=conj(D_D(m-x))$

$A_D(x)=\frac{D_D(x)+E_D(x)} 2=\frac{D_D(x)+conj(D_D(m-x))} 2$

$B_D(x)=\frac{D_D(x)-E_D(x)} {2i}=-i\frac{D_D(x)-conj(D_D(m-x))} 2$

$2.$ 证明：

$step~1$ ： $D_D(w_m^k)=A_D(w_m^k)+iB_D(w_m^k)$

$D_D(w_m^k)=\sum_{j=0}^{m-1}a_jw_m^{jk}+ib_jw_m^{jk}$

$D_D(w_m^k)=\sum_{j=0}^{m-1}(a_j+ib_j)w_m^{jk}$

$step~2$ ：为方便起见，我们用 $X$ 代替 $\frac{2\pi j k} {m}$

$E_D(w_m^k)=A_D(w_m^k)-iB_D(w_m^k)$

$E_D(w_m^k)=\sum_{j=0}^{m-1}a_jw_m^{jk}-ib_jw_m^{jk}$

$E_D(w_m^k)=\sum_{j=0}^{m-1}(a_j-ib_j)w_m^{jk}$

$E_D(w_m^k)=\sum_{j=0}^{m-1}(a_j-ib_j)(cosX+isinX)$

$E_D(w_m^k)=\sum_{j=0}^{m-1}(a_jcosX+b_jsinX)+i(a_jsinX-b_jcosX)$

$E_D(w_m^k)=conj\big(\sum_{j=0}^{m-1}(a_jcosX+b_jsinX)-i(a_jsinX-b_jcosX)\big)$

$E_D(w_m^k)=conj\big(\sum_{j=0}^{m-1}(a_jcos(-X)-b_jsin(-X))+i(a_jsin(-X)+b_jcos(-X))\big)$

$E_D(w_m^k)=conj\big(\sum_{j=0}^{m-1}(a_j+ib_j)(cos(-X)+isin(-X)))\big)$

$E_D(w_m^k)=conj\big(\sum_{j=0}^{m-1}(a_j+ib_j)w_m^{-jk}\big)$

$E_D(w_m^k)=conj\big(\sum_{j=0}^{m-1}(a_j+ib_j)w_m^{jm-jk}\big)=conj(D_D(w_m^{m-k}))$

而在IDFT时，我们需要

$D_D(w_m^{-k})=\sum_{j=0}^{m-1}(a_j+ib_j)w_m^{-jk}$

$E_D(w_m^{-k})=conj\big(\sum_{j=0}^{m-1}(a_j+ib_j)w_m^{jk}\big)=conj(D_D(w_m^{k}))$

数论优化FFT(NTT)：

$g^{\frac {p-1} m}$ 与 $w_m$ 的共性：

$1.(g^{\frac {p-1} m})^k$ 和 $w_m^k$ 都互不相同 $(k\in[0,m-1])$ 。

$2.(g^{\frac {p-1} m})^m=g^{p-1}=1$ ， $w_m^m=1$ 。

$3.(g^{\frac {p-1} m})^{\frac m 2}=g^{\frac{p-1} 2}=\sqrt{g^{p-1}}$ ，由于原根的互不相同， $(g^{\frac {p-1} m})^{\frac m 2}=-1=-g^{p-1}=-(g^{\frac {p-1} m})^m$ ， $w_m^m=-w_m^{\frac m 2}$

$4.(g^{\frac {p-1} {2m}})^{2k}=(g^{\frac {p-1} {m}})^{k}$ ， $w_{2m}^{2k}=w_m^k$

$5.(g^{\frac {p-1} {m}})^{k+\frac m 2}=(g^{\frac {p-1} {m}})^{k}\times (g^{\frac {p-1} {m}})^{\frac m 2}=-(g^{\frac {p-1} {m}})^{k}$ ， $w_m^{k+\frac m 2}=-w_m^k$

因为有这些共性，所以 $g^{\frac {p-1} m}$ 可以代替 $w_m$ 。

喜闻乐见的模板：

FFT模板（共轭优化）

namespace FFT{
    const double pi = acos(-1);
    struct cp{
        double x, y;
        cp() {x = y = 0;}
        cp(double X,double Y) {x = X; y = Y; }
        cp conj() {return (cp) {x, -y};}
    }a[3000005], b[3000005], c[3000005], I(0, 1), d[3000005];

    cp operator+ (const cp &a, const cp &b) {return (cp){a.x + b.x, a.y + b.y}; }
    cp operator- (const cp &a, const cp &b) {return (cp){a.x - b.x, a.y - b.y}; }
    cp operator* (const cp &a, const cp &b) {return (cp){a.x * b.x - a.y * b.y, a.x * b.y + a.y * b.x};}
    cp operator* (const cp &a, double b) {return (cp){a.x * b, a.y * b};}
    cp operator/ (const cp &a, double b) {return (cp){a.x / b, a.y / b};}
    struct p_l_e{
        int wz[3000005];
        void FFT(cp *a, int N, int op) {
            for(int i = 0; i < N; i++)
                if (i<wz[i]) swap(a[i],a[wz[i]]);
            for(int le = 2; le <= N; le <<= 1) {
                int mid = le >> 1;
                for(int i = 0; i < N; i += le) {
                    cp x, y, w = (cp) {1, 0};
                    cp wn = (cp){cos(op * pi / mid), sin(op * pi / mid)};
                    for(int j = 0 ; j < mid; j++) {
                        x = a[i + j]; y = a[i + j + mid] * w;
                        a[i + j] = x + y;
                        a[i + j + mid] = x - y;
                        w = w * wn;
                    }
                }
            }
        }
        void D_FFT(cp *a, cp *b, int N, int op){
            for(int i = 0; i < N; i++)    d[i] = a[i] + I * b[i];
            FFT(d, N, op);
            d[N] = d[0];
            for(int i = 0; i < N; i++){
                a[i] = (d[i] + d[N - i].conj()) / 2;
                b[i] = I * (-1) * (d[i] - d[N - i].conj()) / 2;
            }
            d[N] = cp(0, 0);
        }
        void mult(cp *a, cp *b, cp *c, int M){
            int N = 1, len = 0;
            while(N < M) N <<= 1, len++;
            for(int i = 0; i < N; i++)
                wz[i] = (wz[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << (len - 1));
            D_FFT(a, b, N, 1);
            for(int i = 0; i < N; i++)    c[i] = a[i] * b[i];
            FFT(c, N, -1);
            for(int i = 0; i < N; i++)    c[i].x = c[i].x / N;
        }
    }PLE;
    int n, m;
    void main() {
        scanf("%d%d", &n, &m); n++; m++;
        for(int i = 0; i < n; i++) scanf("%lf", &a[i].x);
        for(int i = 0; i < m; i++) scanf("%lf", &b[i].x);
        PLE.mult(a, b, c, n + m - 1); 
        for(int i = 0; i < n + m - 1; i++)    printf("%d ", (int)round(c[i].x));
        return;
    }
}

NTT模板：

namespace NTT{
    typedef long long LL;
    const int mod = 998244353;
    const int g = 3;
    LL a[3000005], b[3000005], c[3000005];
    int n, m;
    LL qpow(LL a, LL b){
        LL ans = 1;
        while(b){
            if(b & 1)    ans = ans * a % mod;
            a = a * a % mod;
            b >>= 1;
        }
        return ans;
    }
    struct p_l_e{
        int wz[3000005];
        void NTT(LL *a, int N, int op) {
            for(int i = 0; i < N; i++) 
                if(i < wz[i]) swap(a[i], a[wz[i]]);
            for(int le = 2; le <= N; le <<= 1) {
                int mid = le >> 1;
                LL wn = qpow(g, (mod - 1) / le);
                if(op == -1) wn = qpow(wn, mod - 2); 
                for(int i = 0; i < N; i += le) {
                    int w = 1, x, y;
                    for(int j = 0; j < mid; j++) {
                        x = a[i + j]; 
                        y = a[i + j + mid] * w % mod; 
                        a[i + j] = (x + y) % mod;
                        a[i + j + mid] = (x - y + mod) % mod;
                        w = w * wn % mod;
                    }
                }
            }
        }
        void mult(LL *a, LL *b, LL *c, int M) {
            int N = 1, len = 0;
            while(N < M)    N <<= 1, len++;
            for(int i = 0; i < N; i++)    
                wz[i] = (wz[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << (len - 1));
            NTT(a, N, 1); NTT(b, N, 1);
            for(int i = 0; i < N; i++)    c[i] = a[i] * b[i] % mod;
            NTT(c, N, -1);
            LL t = qpow(N, mod - 2);
            for(int i = 0; i < N; i++)    c[i] = c[i] * t % mod;
        }
    }PLE;
    void main() {
        scanf("%d%d", &n, &m); n++; m++;
        for(int i = 0; i < n; i++)    scanf("%lld", &a[i]);
        for(int i = 0; i < m; i++)    scanf("%lld", &b[i]);
        PLE.mult(a, b, c, n + m - 1);
        for(int i = 0; i < n + m - 1; i++)    printf("%lld ", c[i]);
    }
}

$\color{red}{\text{多项式全集之二任长任模的FFT:}}$

三模NTT实现任模FFT：

$1.$ 为什么要用MTT：当 $p$ 不是NTT模数或者多项式长度大于模数限制时，就要使用MTT。

$2.$ MTT的使用原理：我们对初始多项式取模，那么如果在不取模卷积情况下，答案 $x$ 不会超过 $N\times p^2$ 。我们取三个NTT模数 $p_1,p_2,p_3$ ，分别做多项式乘法，得到 $x$ 分别 $mod~p_1,p_2,p_3$ 的答案，通过CRT合并可以得到 $x~mod~p_1p_2p_3$ 的答案，如果 $x<p_1p_2p_3$ 那么就可以得到准确的答案，再对 $p$ 取模即可。

$3.$ CRT合并的小优化：

$step~0:$ 初始式子

${\begin{cases}x\equiv c_1(mod~p_1)\\x\equiv c_2(mod~p_2)\\x\equiv c_3(mod~p_3)\end{cases}}$

$step~1:$ 把一式二式合并(LL范围内)。

${\begin{cases}x\equiv a(mod~p_1p_2)\\x\equiv c_3(mod~p_3)\end{cases}}$

$step~2:$ 再次合并(不需要 $long~double$ 快速乘)。

$4.$ 常用NTT模数：

以下模数的共同 $g=3189$

$p=r\times 2^k+1$	$k$	$g$
$104857601$	$22$	$3$
$167772161$	$25$	$3$
$469762049$	$26$	$3$
$950009857$	$21$	$7$
$998244353$	$23$	$3$
$1004535809$	$21$	$3$
$2013265921$	$27$	$31$
$2281701377$	$27$	$3$
$3221225473$	$30$	$5$

拆系数FFT(CFFT)实现任模FFT：

$1.$ 实现原理：运用实数FFT不取模做乘法，然后取模回归到整数。但是由于误差较大（值域是 $10^{23}$ ），我们令 $t=\sqrt{m}$ 把系数 $a_i=k_it+b_i$ ，对 $k_i,t_i$ 交叉做四遍卷积，求出答案按系数贡献取模加入。

$2.$ 可按合并DFT的方法优化DFT次数。

$bluestein$ 算法实现任长FFT：

当 $m$ 不是 $2$ 的幂次的时候，我们从式子入手：

$A_k=\sum_{j=0}^{m-1}a_jw_m^{jk}$

$A_k=\sum_{j=0}^{m-1}a_jw_m^{\frac{j^2+k^2-{(k-j)}^2}{2}}$

$A_k=w_m^{\frac {k^2} 2}\sum_{j=0}^{m-1}a_jw_m^{\frac{j^2} 2}w_m^{\frac{-{(k-j)}^2}{2}}$

令 $X_i=a_iw_m^{\frac {i^2} 2},Y_i=w_m^{\frac{-i^2}2}$

$A_k=w_m^{\frac {k^2} 2}\sum_{j=0}^{m-1}X_jY_{k-j}$

喜闻乐见的模板：

三模NTT模板（注意：不可以MTT回来，因为系数会取模）

namespace MTT{
    typedef long long LL;
    int n, m;
    LL p, mod;
    const LL p1 = 998244353;
    const LL p2 = 1004535809;
    const LL p3 = 104857601;
    const int g = 3189;
    LL a[300005], b[300005], c[300005], cpa[300005], cpb[300005];
    LL c3[300005], c1[300005], c2[300005];
    LL qpow(LL a, LL b, LL mod) {
        LL ans = 1;
        while(b) {
            if(b & 1)    ans = ans * a % mod;
            a = a * a % mod;
            b >>= 1;
        }
        return ans;
    }
    const LL inv12 = qpow(p1, p2 - 2, p2);
    const LL inv123 = qpow(p1 * p2 % p3, p3 - 2, p3);
    struct p_l_e{
        int wz[300005];
        void MTT(LL *a, int N, int op) {
            for(int i = 0; i < N; i++)
                if(i < wz[i]) swap(a[i], a[wz[i]]);
            for(int le = 2; le <= N; le <<= 1) {
                int mid = le >> 1;
                LL wn = qpow(g, (mod - 1) / le, mod);
                if(op == -1) wn = qpow(wn, mod - 2, mod);
                for(int i = 0; i < N ;i += le) {
                    LL w = 1, x, y;
                    for(int j = 0; j < mid; j++) {
                        x = a[i + j];
                        y = a[i + j + mid] * w % mod;
                        a[i + j] = (x + y) % mod;
                        a[i + j + mid] = (x - y + mod) % mod;
                        w = w * wn % mod;
                    }
                }
            }
        }
        void mult(LL *a, LL *b, LL *c, int M) {
            int N = 1, len = 0;
            while(N < M) N <<= 1, len++;
            for(int i = 0; i < N; i++)
                wz[i] = (wz[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << (len - 1));
            MTT(a, N, 1); MTT(b, N, 1);
            for(int i = 0; i < N; i++)    c[i] = a[i] * b[i] % mod;
            MTT(c, N, -1);
            LL t = qpow(N, mod - 2, mod);
            for(int i = 0; i < N; i++)    c[i] = c[i] * t % mod;
        }

    }PLE;
    LL CRT(LL c1, LL c2, LL c3) {
        LL x = (c1 + p1 * ((c2 - c1 + p2) % p2 * inv12 % p2));
        LL y = (x % p + p1 * p2 % p * ((c3 - x % p3 + p3) % p3 * inv123 % p3) % p) % p;
        return y;
    }
    void merge(LL *c1, LL *c2, LL *c3, LL *c, int N) {
        for(int i = 0; i < N; i++)
            c[i] = CRT(c1[i], c2[i], c3[i]);
        return;
    }
    void main() {
        scanf("%d%d%lld", &n, &m, &p); n++; m++;
        for(int i = 0; i < n; i++)    scanf("%lld", &a[i]);
        for(int i = 0; i < m; i++)    scanf("%lld", &b[i]);
        mod = p1; memcpy(cpa, a, sizeof(a)); memcpy(cpb, b, sizeof(b)); PLE.mult(cpa, cpb, c1, n + m - 1);
        mod = p2; memcpy(cpa, a, sizeof(a)); memcpy(cpb, b, sizeof(b)); PLE.mult(cpa, cpb, c2, n + m - 1);
        mod = p3; memcpy(cpa, a, sizeof(a)); memcpy(cpb, b, sizeof(b)); PLE.mult(cpa, cpb, c3, n + m - 1);
        merge(c1, c2, c3, c, n + m - 1);
        for(int i = 0; i < n + m - 1; i++)    printf("%lld ", (c[i] % p + p) % p);
        return;
    }
}

拆系数FFT模板（注意：相同系数的两项可以合并一起IDFT。采用共轭优化法，只进行四次DFT）

namespace CFFT{
    typedef long long LL;
    int n, m, p ,sqrp; 
    int a[300005], b[300005];
    const long double pi = acos(-1);
    struct cp{
        long double x, y;
        cp() {x = y = 0;}
        cp(long double X,long double Y) {x = X; y = Y; }
        cp conj() {return (cp) {x, -y};}
    }ka[300005], kb[300005], ta[300005], tb[300005], kk[300005], kt[300005], tt[300005], c[300005], I(0, 1), d[300005];

    cp operator+ (const cp &a, const cp &b) {return (cp){a.x + b.x, a.y + b.y}; }
    cp operator- (const cp &a, const cp &b) {return (cp){a.x - b.x, a.y - b.y}; }
    cp operator* (const cp &a, const cp &b) {return (cp){a.x * b.x - a.y * b.y, a.x * b.y + a.y * b.x};}
    cp operator* (const cp &a, long double b) {return (cp){a.x * b, a.y * b};}
    cp operator/ (const cp &a, long double b) {return (cp){a.x / b, a.y / b};}    
    struct p_l_e{
        int wz[300005];
        void FFT(cp *a, int N, int op){
            for(int i = 0; i < N; i++)
                if(i < wz[i])    swap(a[i], a[wz[i]]);
            for(int le = 2; le <= N; le <<= 1){
                int mid = le >> 1;
                cp x, y, w, wn = (cp){cos(op * 2 * pi / le), sin(op * 2 * pi / le)};
                for(int i = 0; i < N; i += le){
                    w = (cp){1, 0};
                    for(int j = 0; j < mid; j++){
                        x = a[i + j];
                        y = a[i + j + mid] * w;
                        a[i + j] = x + y;
                        a[i + j + mid] = x - y;
                        w = w * wn;
                    }
                }
            } 
        }
        void D_FFT(cp *a, cp *b, int N, int op){
            for(int i = 0; i < N; i++)    d[i] = a[i] + I * b[i];
            FFT(d, N, op);
            d[N] = d[0];
            if(op == 1){
                for(int i = 0; i < N; i++){
                    a[i] = (d[i] + d[N - i].conj()) / 2;
                    b[i] = I * (-1) * (d[i] - d[N - i].conj()) / 2;
                }
            } else {
                for(int i = 0; i < N; i++){
                    a[i] = cp(d[i].x, 0);
                    b[i] = cp(d[i].y, 0);
                }
            }
            d[N] = cp(0, 0);
        }
        void mult(int *a, int *b, int M){
            int N = 1, len = 0;
            while(N < M) N <<= 1, len++;
            for(int i = 0; i < N; i++)
                wz[i] = (wz[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << (len - 1));
            for(int i = 0; i < N; i++){
                ka[i].x = a[i] >> 15;
                kb[i].x = b[i] >> 15;
                ta[i].x = a[i] & 32767;
                tb[i].x = b[i] & 32767;
            }
            D_FFT(ta, ka, N, 1); D_FFT(tb, kb, N, 1);
            for(int i = 0; i < N; i++){
                kk[i] = ka[i] * kb[i];
                kt[i] = ka[i] * tb[i] + ta[i] * kb[i];
                tt[i] = ta[i] * tb[i];
            }
            D_FFT(tt, kk, N, -1); FFT(kt, N, -1);
            for(int i = 0; i < N; i++){
                tt[i] = tt[i] / N;
                kt[i] = kt[i] / N;
                kk[i] = kk[i] / N;
            }
        }
    }PLE;
    void main() {
        scanf("%d%d%d", &n, &m, &p); n++; m++;
        for(int i = 0; i < n; i++)    scanf("%d", &a[i]),a[i] = a[i] % p;
        for(int i = 0; i < m; i++)    scanf("%d", &b[i]),b[i] = b[i] % p;
        PLE.mult(a, b, n + m - 1);
        for(int i = 0; i < n + m - 1; i++)
            printf("%lld ",(((((LL)round(kk[i].x)) % p) << 30) + ((((LL)round(kt[i].x)) % p) << 15) + ((LL)round(tt[i].x)) % p) % p);
    }
}

$blue\_stein$ 模板：

struct polynie {
    CP getw(int m, int k, int op) {
        return CP(cos(2 * pi * k / m), op * sin(2 * pi * k / m));
    }
    int wz[MAXN];
    CP A[MAXN], B[MAXN], C[MAXN];
    void FFT(CP *a, int N, int op) {
        rop(i, 0, N) if(i < wz[i]) swap(a[i], a[wz[i]]);
        for(int l = 2; l <= N; l <<= 1) {
            int mid = l >> 1;
            CP x, y, w, wn = CP(cos(pi / mid), sin(op * pi / mid));
            for(int i = 0; i < N; i += l) {
                w = CP(1, 0);
                rop(j, 0, mid) {
                    x = a[i + j];
                    y = w * a[i + j + mid];
                    a[i + j] = x + y;
                    a[i + j + mid] = x - y;
                    w = w * wn;
                }
            }
        }
    }
    void mult(CP *a, CP *b, CP *c, int M) {
        int N = 1, len = 0;
        while(N < M) N <<= 1, len++;
        rop(i, 0, N) wz[i] = (wz[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << (len - 1));
        FFT(a, N, 1); FFT(b, N, 1);
        rop(i, 0, N) c[i] = a[i] * b[i];
        FFT(c, N, -1);
        rop(i, 0, N) c[i].x = c[i].x / N, c[i].y = c[i].y / N;
    }
    void blue_stein(CP *a, int M, int op) {
        int M2 = M << 1;
        memset(A, 0, sizeof(A));
        memset(B, 0, sizeof(B));
        memset(C, 0, sizeof(C));
        rop(i, 0, M) A[i] = a[i] * getw(M2, 1ll * i * i % M2, op);
        rop(i, 0, M2) B[i] = getw(M2, 1ll * (i - M) * (i - M) % M2, -op);
        mult(A, B, C, M2 + M - 1);
        rop(i, 0, M) a[i] = C[i + M] * getw(M2, 1ll * i * i % M2, op);
        if(op == -1) rop(i, 0, M) a[i].x = a[i].x / M, a[i].y = a[i].y / M;
    }
}PLE;

$\color{red}{\text{多项式全集之三多项式求逆:}}$

多项式求逆：

$1.$ 问题描述：

已知 $F(x)$ ，且 $F(x)G(x)\equiv 1 (mod~x^n)$ ，求 $G(x)$

$2.$ 推导过程：

设

$B(x)\equiv F(x)^{-1}(mod~x^{\lceil \frac n 2 \rceil})$

由于

$G(x)\equiv F(x)^{-1} (mod~x^n)$

所以

$G(x)\equiv F(x)^{-1} (mod~x^{\lceil \frac n 2 \rceil})$

那么

$G(x)\equiv B(x)(mod~x^{\lceil \frac n 2 \rceil})$

$G(x)-B(x)\equiv 0(mod~x^{\lceil \frac n 2 \rceil})$

两边平方，得：

由于 $[G(x)-B(x)]^2$ 的第 $k<n$ 项为

$\sum_{i=0}^k[g_ix^i-b_ix^i][g_{k-i}x^{k-i}-b_{k-i}x^{k-i}]$

$i,k-i$ 一定有一项 $<\frac n 2$ ，所以

$[G(x)-B(x)]^2\equiv 0 (mod~x^n)$

$G^2(x)+B^2(x)-2G(x)B(x)\equiv 0(mod~x^n)$

两边同乘 $A(x)$ ，得：

$A(x)G^2(x)+A(x)B^2(x)-2A(x)G(x)B(x)\equiv 0 (mod~x^n)$

$G(x)+A(x)B^2(x)-2B(x)\equiv 0 (mod~x^n)$

$G(x)\equiv 2B(x)-A(x)B^2(x)(mod~x^n)$

$G(x)\equiv B(x)[2-A(x)B(x)](mod~x^n)$

喜闻乐见的模板：

namespace INV{
    typedef long long LL;
    int n, a[300005], b[300005];
    const int mod = 998244353;
    const int g = 3189;
    int qpow(int a, int b){
        int ans = 1;
        while(b){
            if(b & 1)    ans = 1ll * ans * a % mod;
            a = 1ll * a * a % mod;
            b >>= 1;
        }
        return ans;
    }
    struct p_l_e{
        int wz[300005], i_c[300005];
        void NTT(int *a, int N, int op){
            for(int i = 0; i < N; i++)
                if(i < wz[i]) swap(a[i], a[wz[i]]);
            for(int le = 2; le <= N; le <<= 1){
                int mid = le >> 1, wn = qpow(g, (mod - 1) / le);
                if(op == -1) wn = qpow(wn, mod - 2);
                for(int i = 0; i < N; i += le){
                    LL w = 1; int x, y;
                    for(int j = 0; j < mid; j++){
                        x = a[i + j];
                        y = w * a[i + j + mid] % mod;
                        a[i + j] = (x + y) % mod;
                        a[i + j + mid] = (x - y + mod) % mod;
                        w = w * wn % mod;
                    }
                }
            }
        }
        int init(int M){
            int N = 1, len = 0;
            while(N < M) N <<= 1, len++;    
            for(int i = 0; i < N; i++)
                wz[i] = (wz[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << (len - 1));
            return N;
        }
        void INV(int *a, int *b, int deg){
            if(deg == 1){b[0] = qpow(a[0], mod - 2); return;}
            INV(a, b, (deg + 1) >> 1);
            int N = init(deg + deg - 1);
            for(int i = 0; i < deg; i++) i_c[i] = a[i];
            for(int i = deg; i < N; i++) i_c[i] = 0;
            NTT(b, N, 1);NTT(i_c, N, 1);
            for(int i = 0; i < N; i++) b[i] = 1ll * b[i] * (2 - 1ll * b[i] * i_c[i] % mod + mod) % mod;
            NTT(b, N, -1);
            int t = qpow(N, mod - 2);
            for(int i = 0; i < N; i++) b[i] = 1ll * b[i] * t % mod;
            for(int i = deg; i < N; i++) b[i] = 0;
        }
    }PLE;

    void main(){
        scanf("%d", &n);
        for(int i = 0; i < n; i++)    scanf("%d", &a[i]);
        PLE.INV(a, b, n);
        for(int i = 0; i < n; i++)    printf("%d ",b[i]);
    }
}

$\color{red}{\text{多项式全集之四多项式ln:}}$

$1.$ 做法：

设 $G(x) =\ln F(x)$

两边求导得

$G'(x)=\frac {F'(x)} {F(x)}$

积分回去即可。

$2.$ 应用：

$e^{F(x)}=\sum_{k \ge 0}\frac{F^k(x)}{k!}=G(x)$

$F(x) = \ln G(x)$

这个的组合意义是：无序组合。

设 $F(x)$ ， $f_i$ 表示一些东西，那么这些东西有序组合的方案数为

$F^0(x) + F^1(x)+F^2(x)+\cdots=\frac 1 {1 - F(x)}$

而无序组成的方案数为：

$\frac{F^0(x)}{0!} + \frac {F^1(x)}{1!}+\frac{F^2(x)}{2!}+\cdots=e^{F(x)}$

如果无序组合方案数好求，那么求 $\ln$ 就能得到 $F(x)$ 。

例题

喜闻乐见的代码：

多项式 $\ln$ :

namespace PLE_ln{
  struct polyme {
      int li[SZ], wz[SZ];
      void NTT(int *a, int N, int op) {
          rop(i, 0, N) if(i < wz[i]) swap(a[i], a[wz[i]]);
          for(int l = 2; l <= N; l <<= 1) {
              int mid = l >> 1;
              int x, y, w, wn = qpow(g, (mod - 1) / l);
              if(op) wn = qpow(wn, mod - 2);
              for(int i = 0; i < N; i += l) {
                  w = 1;
                  for(int j = 0; j < mid; ++j) {
                      x = a[i + j]; y = 1ll * w * a[i + j + mid] % mod;
                      a[i + j] = (x + y) % mod;
                      a[i + j + mid] = (x - y + mod) % mod;
                      w = 1ll * w * wn % mod;
                  }
              }
          }
      }
      void qd(int *a, int *b, int n) {
          rop(i, 0, n) b[i] = 1ll * a[i + 1] * (i + 1) % mod;
      }
      void jf(int *a, int *b, int n) {
          rop(i, 1, n) b[i] = 1ll * a[i - 1] * qpow(i, mod - 2) % mod;
      }
      void mult(int *a, int *b, int *c, int M) {
          int N = 1, len = 0;
          while(N < M) N <<= 1, len ++;
          rop(i, 0, N) wz[i] = (wz[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << (len - 1));
          NTT(a, N, 0); NTT(b, N, 0);
          rop(i, 0, N) c[i] = 1ll * a[i] * b[i] % mod;
          NTT(c, N, 1);
          int t = qpow(N, mod - 2);
          rop(i, 0, N) c[i] = 1ll * c[i] * t % mod;
      }
      void inv(int *a, int *b, int deg) {
          if(deg == 1) {b[0] = qpow(a[0], mod - 2) % mod; return;}
          inv(a, b, (deg + 1) >> 1);
          rop(i, 0, deg) li[i] = a[i];
          int N = 1, len = 0;
          while(N < deg + deg - 1) N <<= 1, len ++;
          rop(i, 0, N) wz[i] = (wz[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << (len - 1));
          rop(i, deg, N) li[i] = 0;
          NTT(li, N, 0); NTT(b, N, 0);
          rop(i, 0, N) b[i] = 1ll * b[i] * (2 - 1ll * li[i] * b[i] % mod + mod) % mod;
          NTT(b, N, 1);
          int t = qpow(N, mod - 2);
          for(int i = 0; i < N; i++) b[i] = 1ll * b[i] * t % mod;
          rop(i, deg, N) b[i] = 0;
      }
  }PLE;
  int a[SZ], da[SZ], ia[SZ], dla[SZ], la[SZ], n;

  void main() {

      scanf("%d", &n);
      rop(i, 0, n) scanf("%d", &a[i]);
      PLE.qd(a, da, n);
      PLE.inv(a, ia, n);
      PLE.mult(ia, da, dla, n + n - 1);
      PLE.jf(dla, la, n);
      rop(i, 0, n) printf("%d ", la[i]);
  }
}

【博客】FFT基础及各种常数优化学习笔记精

本文含NTT、MTT、拆系数FFT、共轭优化FFT、多项式求逆与ln

$\color{red}{\text{约定：}}$

$\color{red}{\text{多项式系列之零底层知识：}}$

多项式的表示：

多项式乘法：

复数：

$w$ ：

DFT&IDFT：

g：

CRT合并：

$\color{red}{\text{多项式全集之一 FFT:}}$

什么是FFT：

$w$ 的具体应用：

非递归优化FFT：

共轭复数优化FFT：

数论优化FFT(NTT)：

喜闻乐见的模板：

$\color{red}{\text{多项式全集之二任长任模的FFT:}}$

三模NTT实现任模FFT：

拆系数FFT(CFFT)实现任模FFT：

$bluestein$ 算法实现任长FFT：

喜闻乐见的模板：

$\color{red}{\text{多项式全集之三多项式求逆:}}$

多项式求逆：

喜闻乐见的模板：

$\color{red}{\text{多项式全集之四多项式ln:}}$

喜闻乐见的代码：

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多项式乘法：

复数：

：

DFT&IDFT：

g：

CRT合并：

什么是FFT：

的具体应用：

非递归优化FFT：

共轭复数优化FFT：

数论优化FFT(NTT)：

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三模NTT实现任模FFT：

拆系数FFT(CFFT)实现任模FFT：

算法实现任长FFT：

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$w$ ：

$w$ 的具体应用：

$bluestein$ 算法实现任长FFT：