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Day7: 统计学知识点总结(part 2)
5、参数估计
定义：参数估计（parameter estimation），统计推断的一种。根据从总体中抽取的随机样本来估计总体分布中未知参数的过程。从估计形式看，区分为点估计与区间估计；
常见点估计方法：矩估计、最小二乘估计、极大似然估计、贝叶斯估计
区间估计：利用已知的抽样分布、利用区间估计与假设检验的联系、利用大样本理论
1) 点估计
a、矩估计
矩估计法的理论依据是大数定律。矩估计是基于一种简单的“替换”思想，即用样本矩估计总体矩
优点：简单易行, 并不需要事先知道总体是什么分布。（根据均值方差来计算未知参数）
缺点：当总体类型已知时，没有充分利用分布提供的信息（有一定随意性）
b、最小二乘估计
对于最小二乘估计来说，最合理的参数估计量应该使得模型能最好地拟合样本数据，也就是估计值与观测值之差的平方和最小。
目标最小化估计值与观测值之差的平方和。Q表示误差平方和，Yi表示估计值，Ŷ i表示观测值
c、极大似然估计
对于最大似然估计来说，最合理的参数估计量应该使得从模型中抽取该n组样本的观测值的概率最大，也就是概率分布函数或者似然函数最大。
2）区间估计
定义：区间估计 = 点估计 ± 边际误差
根据样本求出未知参数的估计区间，并使这个区间包含未知参数的可靠程度达到预定要求（这个预定要求就是个置信度，用上α位分点来体现这个置信度）。
步骤：
参数估计和假设检验的联系：参数估计和假设检验都是样本去估计总体，都是建立在概率基础上的统计，可以相互转换
参数估计和假设检验的区别是：
a.参数估计是用样本统计量估计总体参数的方法；假设检验是先对总体参数提出一个假设，然后利用样本信息去检验这个假设是否成立
b.参数估计是以置信区间(大概率)估计总体参数；假设检验是利用小概率事件是否发生来判断假设是否成立
c.区间估计求得的是求以样本估计值为中心的双侧置信区间，假设检验既有双侧检验，也有单侧检验；
6、 辛普森悖论
定义：在对样本集合进行分组研究时，在分组比较中都占优势的一方，在总评中有时反而是失势的一方，这种有悖常理的现象，就成为 “辛普森悖论”。
实例：
xx学校两个学院男生录取率均高于女生，但该学校女生录取率则高于男生，这个例子便是一典型的辛普森悖论现象
原因：为什么会出现辛普森悖论现象，从上面这个例子可以看到，男生虽然每个学院的录取率都高于女生，但男生中有100个人(5/6的比例)报了录取率较低的法学院，出现了严重的数据数量不平衡，因此导致男生整体的录取率偏低。
另外，录取率这个变量应该跟专业有较大关系，而不同性别的学生报考不同专业的比例不同，性别这个变量是因为跟报考专业相关，才呈现出跟录取率相关的现象，从本质上讲，这个变量设置并不合理。
如何避免辛普森悖论：
辛普森悖论会导致统计上的一些错误结论，要避免掉入辛普森悖论的陷阱，要从一下两方面着手：
1. 进行合理的变量设计，进行合理的变量关系验证
如上述实例，出现辛普森悖论的很大一个原因是由于变量设计不合理，在研究之初就漏掉了“专业”这个重要潜伏变量(，而直接将性别与录取率建立了联系。因此，在进行变量设计时，一是要尽量多查阅文献以了解自变量，因变量及其他重要变量之间的关系，二是积累相关的经验，能够敏锐地察觉到某个变量的重要性。
(这个重要潜伏变量指的是与实验分析的因果都有关系的变量，这一变量的缺失可能会掩盖或颠倒研究变量的原有关系。
比如在录取率这个例子中，专业既与录取率有关，不同专业难度不同，录取率自然有差异，又与性别有关，女生和男生趋向报考的专业不同。因此专业就是一个重要潜伏变量。)
2. 进行科学合理的抽样
在进行抽样调查时应选择合适的抽样方法或多种抽样方法并存，保证抽取的样本处于远离极端范围的中间区域，在进行非比例抽样时，应慎重考虑权重的问题。
拓展知识点(低频、难度较大，选择性掌握)
1、幸存者偏差
定义：幸存者偏差是一种选择偏倚，就是忽略了筛选条件，把经过筛选的结果当成随机结果。
实例：统计结果显示，机翼中弹的飞机生还概率远高于驾驶舱和机尾中弹的飞机。但驾驶舱和机尾中弹的飞机很少回来，基本不在样本之中
如何避免：谨慎进行样本选择，当样本出现严重偏斜时，考虑出现原因及合理性。
2、相关性分析（皮尔森person相关系数、spersman相关系数、肯德尔kendall秩相关系数）
定义：相关性分析是指对两个或多个具备相关性的变量元素进行分析，从而衡量两个变量因素的相关密切程度。常用的相关系数有皮尔森person相关系数、spersman相关系数、肯德尔kendall秩相关系数
person相关系数取值区间[-1,1]，若person相关系数接近0，无相关性；person相关系数接近-1或+1，有较强相关性
spersman相关系数：采用的是取值等级进行相关性计算，
计算过程：首先对两个变量（X, Y）的数据进行排序，然后记下排序以后的位置（X’, Y’），（X’, Y’）的值就称为秩次，秩次的差值就是上面公式中的，n就是变量中数据的个数，最后带入公式就可求解结果。举例说明，假设我们实验的数据如下：
利用计算出的秩次差的平方代入上述公式进行计算，便可得到spersman相关系数
特点：1. 即便在变量值没有变化的情况下，也不会出现像皮尔森系数那样分母为0而无法计算的情况。另外，即使出现异常值，由于异常值的秩次通常不会有明显的变化（比如过大或者过小，那要么排第一，要么排最后），相对于皮尔森相关系数，斯皮尔曼相关系数对于数据错误和极端值的反应不敏感。
2. 斯皮尔曼相关性系数没有数据条件要求，适用的范围较广，在生物实验数据分析中，尤其在分析多组交叉数据中说明不同组数据之间的相关性时，使用的频率很高。
Kendall相关系数：肯德尔(Kendall)系数又称一致性系数，是表示多列等级变量相关程度的一种方法，也是一种秩相关系数，计算对象是分类变量，适用于两个分类变量均为有序分类的情况。
适用情况：评委对选手的评分（优、中、差等），想看两个（或者多个）评委对几位选手的评价标准是否一致；或者医院的尿糖化验报告，想检验各个医院对尿糖的化验结果是否一致，这时候就可以使用肯德尔相关性系数进行衡量。
因计算公式过于复杂，不予展示
面试问题
1、简述中心极限定理、大数定律（字节、拼多多）
2、假设检验的定义、第一类错误、第二类错误（字节跳动、快手）
3、T检验、Z检验、F检验、卡方检验的定义、适用情况(快手、腾讯、小米)
4、辛普森悖论的定义及实例（腾讯、字节）
5、幸存者偏差现象（腾讯）
6、相关系数的取值范围及相关系数为0的意义(阿里)
7、参数估计有哪些方法
8、点估计和区间估计的区别和联系（字节）
9、极大似然估计是什么（字节）
10、参数估计和假设检验的联系和区别（阿里）
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