B-矩阵的拆解之谜_集美大学第十一届校程序设计竞赛（同步赛）

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64bit IO Format: %lld

题目描述

给定一个 $n \times n$ 的矩阵 $A$ ，我们想知道这个知道矩阵是否能表示成对称阵和反对称阵的和。如果能表示，请输出对称阵与反对称阵。可以证明，如果所求的两个矩阵存在，则这两个矩阵唯一。题目数据保证如果所求的两个矩阵存在，则对称阵与反对称阵内的元素必然为整数。

以下是一些名词的定义以及解释。

对称阵

定义：如果一个矩阵的转置等于自身，即 $A^{T}=A$ ，那么这个矩阵就是对称矩阵。

- 数学表示：对于任意的 $i$ 和 $j$ ，有 $A_{i j}=A_{j i}$ 。

- 简单理解：对称阵关于主对角线对称。

例子：

$A=\left(\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 6 \end{array}\right)$

在这个矩阵中， $A_{12}=A_{21}=2$ ， $A_{13}=A_{31}=3$ ，所以它是对称阵。

反对称阵

定义: 如果一个矩阵的转置等于它的负矩阵，即 $A^{T}=-A$ ，那么这个矩阵就是反对称矩阵。

- 数学表示: 对于任意的 $i$ 和 $j$ ，有 $A_{i j}=-A_{j i}$ ，并且所有对角线上的元素都为 $0$ ，即 $A_{i i}=0$ 。

- 简单理解：反对称阵关于主对角线反号对称。

例子:

$A=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 2 & -1 \\ -2 & 0 & 3 \\ 1 & -3 & 0 \end{array}\right)$

在这个矩阵中， $A_{12}=-A_{21}=2$ ， $A_{13}=-A_{31}=-1$ ，并且主对角线元素 $A_{11}=A_{22}= A_{33}=0$ ，所以它是反对称阵。

矩阵加法

设有两个矩阵 $A$ 和 $B$ ，它们的大小都是 $n \times m$ ，即每个矩阵都有 $n$ 行和 $m$ 列。矩阵加法的规则是将对应位置的元素相加，得到一个新的矩阵 $C$ ，其中：

$C_{ij} = A_{ij} + B_{ij}$

输入描述:

第一行给出一个整数 $n \; (1 \leq n \leq 500)$ ，表示矩阵的大小。

接下来有 $n$ 行,每行给出 $n$ 个整数。其中第 $i$ 行第 $j$ 列为 $A_{i j} \; (-10^9 \leq A_{i j} \leq 10^9)$ ，即矩阵的第 $i$ 行第 $j$ 列的值。

输出描述:

如果所求的对称阵与反对称阵存在，第一行输出 YES，否则输出 NO。

如果存在，则接下来输出 $2 n$ 行，每行 $n$ 个整数，其中第 $1 \sim n$ 行输出要求的对称阵，第 $n + 1 \sim 2 n$ 行输出要求的反对称阵。

示例1

输入

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2
1 2
4 3

输出

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