G-矩阵的秩_牛客挑战赛87

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题目描述

$\hspace{15pt}$ 设 $p$ 为素数， $\mathbb{F}_p$ 是阶为 $p$ 的有限域。
$\hspace{15pt}$ 给出 $n,m,p$ ，考虑所有定义在 $\mathbb{F}_p$ 上的 $n$ 行 $m$ 列，且行向量均为非零向量的矩阵，对于每个 $k$ 满足 $0 \le k \le \min(n,m)$ ，你需要求出有多少个 $n \times m$ 的矩阵满足：
$\hspace{23pt}\bullet\,$ 每两个行向量之间都不成比例。也就是说，对于任意 $1 \leq i \lt j \leq n$ ，不存在标量 $\lambda \in \mathbb{F}_p$ 且 $\lambda \neq 0$ 使得第 $i$ 行等于第 $j$ 行的 $\lambda$ 倍。
$\hspace{23pt}\bullet\,$ 矩阵在域 $\mathbb{F}_p$ 上的秩恰好为 $k$ 。
$\hspace{15pt}$ 由于答案可能很大，请将答案对 $998\,244\,353$ 取模后输出。

【名词解释】
$\hspace{15pt}$ 有限域：在数学中，有限域（也称为伽罗瓦域）是一个包含有限个元素的集合。这些元素遵循乘法、加法、减法和除法的运算规则，且所有这些运算均满足算术的基本规则。有限域最常见的例子是由模 $p$ 的整数给出，其中 $p$ 是素数。
$\hspace{15pt}$ 当我们说 $\mathbb{F}_p$ 是阶为 $p$ 的有限域时，意味着 $\mathbb{F}_p$ 恰好包含 $p$ 个不同的元素，且 $p$ 为素数。 $\mathbb{F}_p$ 的元素是整数 $0,1,2,\dots,p-1$ ，域的运算均在模 $p$ 下进行。例如，若 $p=5$ ，则 $\mathbb{F}_5$ 是集合 $\{0,1,2,3,4\}$ ，在这个域中： $2+3=0$ 、 $4 \times 4 = 1$ 。

输入描述:

在一行上输入三个整数 。保证  是一个质数，含义如题。

输出描述:

在一行上输出  个整数，第  个整数表示当  时的答案对  取模的结果。

示例1

输入

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2 2 2

输出

复制

0 0 6

示例2

输入

复制

3 2 5

输出

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0 0 7680

示例3

输入

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3 3 3

输出

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0 0 2496 11232